二进制数系统

二进制数字系统是一种以 2 为基数的位置编号系统，由戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 在 17 世纪发明。在以 2 为基数的数字系统中，基数为 2，因为仅使用 0 和 1 这两个数字来表示所有可能的数字。

例如，11001₂ 是一个二进制数。

• 从 11001 开始，位数为 5₂ 有 5 位数字。
• 因此，二进制数中的每个数字都是一个位。例如，左边的1是数字11001中的一位₂。
• 右边的 1 称为最低有效位 (LSB)
• 左边的 1 称为最高有效位 (MSB)

如何将十进制转换为二进制

方法#1：

11001₂ 十进制数是 25。要将 25 转换为二进制数字系统，我们需要以扩展形式写出 25，同时确保每个加数都可以写为 2 的幂。

25 = 16 + 8 + 1 = 2⁴ + 2³ + 2⁰

为了达到 25，我们需要 1 16人一组， 1 8人一组， 0 4人一组， 0 2人一组，以及 1。

从右向左开始，1排在第一位（2⁰), 0, 排在第二位(2¹), 0 排在第三位(2²), 1 排在第四位(2³），1 排在第五位（2⁴）如下图所示。

25 的二进制是 11001₂

二进制数系统中如何进行分组。从 10 进制转换为 2 进制时要遵循的一般准则

小组从第n名到第一名。这意味着您必须首先创建一个具有尽可能高的 2 次方的组。

例如，我正在尝试将 45 转换为二进制数字系统。问问自己，“2 小于 45 的最大幂是多少？”

2⁶ = 64. 2⁵ = 32. 所以，2小于45的最高次方是2⁵ = 32

由于 32 排在第六位，因此将 1 放入 第六名。然后尝试找出之前的位值是什么。

45 – 32 = 13

问问自己，“2 比 13 的最大幂是多少？”

2⁴ = 16. 2³ = 8. 所以，2小于13的最高次方是2³ = 8

由于 8 排在第四位，因此将 1 放入 第四名。然后尝试找出之前的位值是什么。

13 – 8 = 5

问自己：“2 小于 5 的最大幂是多少？”

2³ = 8. 2² = 4. 所以，2小于5的最高次方是2² = 4

由于 4 排在第三位，因此将 1 放入 第三名。然后尝试找出之前的位值是什么。

5 – 4 = 1 并且 1 进入 首位。

因此，45转换为二进制数是101101。

也可以写45_十 或101101_二

阅读时要非常小心 101101_二！

101101₂ 读为一零一一零一基数为 2。

方法#2：

步骤1

将被除数 25 除以 2 并编写除法算法。

步骤2

使用步骤 1 中获得的商作为新的股息。将新的被除数除以 2，并再次编写除法算法。继续这样做，直到商为0。

使用方法 #2，以下是如何将十进制数 25 转换为二进制数。

25 = 2 x 12 + 1

12 = 2 x 6 + 0

6 = 2 x 3 + 0

3 = 2 x 1 + 1

1 = 2 x 0 + 1

把从下到上得到的所有余数写成 110001₂

十进制数系统与二进制数系统的异同

二进制数字系统和我们熟悉的以 10 为基数的计数系统之间的主要区别在于，分组是以 2 为一组而不是 10 为一组。

例如，要使用棍子表示 10 进制的 24，您可以使用两组 10 和 4，如下所示。

但有一些重要的事情需要记住，这是充分理解本课的关键！

• 数字 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 用于表示所有可能的数字。请注意，基数 10 有 10 个数字，因此基数是 10。

• 根据数字有多大，我们以十为一组，以百为一组，以千为一组，以万为一组……（这些是10的幂：10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1000)

• 如果数字小于 10（例如 8 和 9），则该数字将占据个位值。

• 如果数字大于 9 且小于 100，例如 10、55 和 98，则 10 组将占据十位值。

• 如果数字大于 99 且小于 1000，例如 100、255 和 999，则百位组将占据百位值。

例如，仔细研究以下数字，看看它是如何组织的。

由于人数超过99，我们只好以110为一组。另请注意如何将百组放入百位值中，以及如何将十组放入十位值中。

类似地，二进制数系统也有自己的位值。

• 数字 0,1 用于表示二进制数系统中所有可能的数字。请注意，基数 2 有 2 位数字来表示所有可能的数字。

• 根据数字有多大，我们将 2、4、8、16、32 等分组…（这些是 2 的幂：2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8)

• 如果数字小于 2（例如 1），则无需创建组。而这个数字将占据 第一名的价值。这个位值对应于以 10 为基数的个位。实际上这个 1 在二进制系统和以 10 为基数系统中是相同的。
• 如果一个数字大于 1 且小于 4，例如 2 和 3，则一组两个将占据 第二位值。您也可以将其称为“二位”值。

• 如果一个数字大于 3 且小于 8（例如 4 和 7），则四个一组将占据 第三位值。您也可以将其称为“四”位值

• 如果一个数字大于 7 且小于 16，例如 8、11 和 14，则一组 8 将占据 第四位值。您也可以将其称为“八”位值。

• 如果一个数字大于 15 且小于 32，例如 16、21 和 30，则一组 16 将占据 第五位值。您也可以将其称为“十六”位值。

• 如果一个数字大于 31 且小于 64，例如 32、45 和 63，则一组 32 将占据 第六名价值。您也可以将其称为“三十二”位值。

二进制数系统的应用

以 2 为基数的数字系统在计算机技术中有许多应用。例如，每台计算机都使用二进制编号系统在内部存储数字、图形和字母等数据。

在每台计算机中，通常都有一个用于存储整数的最大位数。如今，该值通常为 16、24 或 32 位。然而，许多 20 世纪 70 年代制造的计算机仅使用 8 位来存储数据。

8 位有 8 个 1，即二进制数 11111111₂

11111111₂ = 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ + 2⁰ = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255。

对于 8 位计算机，计算机上产生大于 255 的整数值的任何操作都会产生错误，因为所有内存位置都已用完。不过，16 位计算机可以生成最大值为 65535 的整数。您可以明白为什么需要创建可以存储更多数据的计算机。

十进制转二进制计算器

例如，在计算器中输入 45，您将看到答案是 101101，如上所示。